اعلانات هامة

Consider,  on the geometric  graph  Г, the spectral  boundary  value problem:

Where p ,   q and rare  the positive  functions,  q is  the real valued function and λ  is a spectral parameter.

Suppose  that  function  u  satisfies  a boundary  condition  in  every internal  node  α of   Г

Where  α1(x) and  k (x )are fixed  and  positive  numbers.  The  summation  is  performed over the edges y

 adjoin to the vertex x and u; (x )denotes the "boundary"  derivative of u at the end x of the edges  y, in the direction  "from x".

We study with the problem {*}  the  problem   replacing

Г by   Г ,where   Г, is   the   component   of  the  connected   set Г{c}  where c is an internal node of  r ,   j =1,2, ... ,I. 

Suppose    that   x(λ)   is   a   geometric    multiple    for   λ    as   an eigenvalue  for  the  problem   (*)  and     X1 (λ)  is  a  geometnc  multiple  for λ as  an eigenvalue   for  the  problem    Then  the difference 

equals one when the solution  of the problem   is  zero  at  c, or  equals  zero  when  the  solution   of  the problem  is zero at c.

Key  words:    Dirichlet  problem.    spectral  boundary   value  problem.  Geometric Graph

ندرس على البيان الهندسيГ مسألة القيم الحدية الطيفية:

 

 

حيث p وq و r دوال ذات قيم حقيقية وp و r دوال موجبة و  λ وسيط طيفي . نفرض أن الدالة u تحقق في العقد الداخلية للبيان Г الشرط:

 

 

حيث (α1 (x و (K(x أعداد موجبة، والمجموع محسوب على كل الأضلاع Y1 التي لها الطرف x و   مشتق الدالة u عند x على الضلع Y1 ، بالاتجاه من x.

ندرس بالتوافق مع المسألة (*) المسألة  ، الناتجة عن المسألة (*) باستبدال Г بـ Г الذي يعبر عن أحد التراكيب المترابطة من المجموعة { Г/{c 

نفرض (x(λ تكرار هندسي للقيمة الذاتية λ للمسألة (*) و (x1(λ  تکرار هندسي للقيمة الذاتية نفسها λ   للمسألة (*) و عندئذ يكون الفرق  

 

 

مساويا للواحد عندما ينعدم حل المسالة عند العقدة الداخليةc ، ومساوية للصفر عندما لا ينعدم حل المسألة عند العقدة الداخلية c .

 

الكلمات المفتاح: مسألة دير يخلیه، طیف مسألة القيم الحدية، البيان الهندسي